HISTORIKU I KONCEPTIT TË FUNKSIONIT ÇFARË JANË FUNKSIONET? PËRKTHIMI I SITUATAVE PROBLEMORE NË TRAJTË FUNKSIONI PËRDORIMI I FUNKSIONEVE NË FUSHA TË TJERA STUDIMI I VARIACIONIT TË FUNKSIONIT GRAFIK FUNKSIONESH TË NDRYSHËM. Funksioni - Projekt Matematikë
NËNTEMAT QË DO TRAJTOHEN:
- HISTORIKU I KONCEPTIT TË FUNKSIONIT
- ÇFARË JANË FUNKSIONET?
- PËRKTHIMI I SITUATAVE PROBLEMORE NË TRAJTË FUNKSIONI
- PËRDORIMI I FUNKSIONEVE NË FUSHA TË TJERA
- STUDIMI I VARIACIONIT TË FUNKSIONIT
- GRAFIK FUNKSIONESH TË NDRYSHËM
HISTORIKU I KONCEPTIT TË FUNKSIONIT
Premisat e përshtatshme për lindjen e konceptit të funksionit u krijuan në vitet ‘30 të shekullit XVII, kur lindi gjeometria analitike, e cila karakterizohej prej një përdorimi aktiv të algjebrës për zgjidhjen e problemeve gjeometrike (në dallim nga metodat që përdornin gjeometrat e Greqisë së lashtë).
Njutoni, duke studiuar varësinë nga koha të ordinatave të pikës në lëvizje, merrej në fakt me studim funksionesh. Ndonëse nuk e formuloi si koncept, ai ishte i ndërgjegjshëm për brendinë e tij. Në vitin 1676 ai shkruante: "Unë nuk do t’i merrja dot këto rezultate të përgjithshme nëse nuk do të isha shkëputur nga shqyrtimi i figurave, duke kaluar thjeshtë në studimin e ndryshimit të ordinatave." (Faktiki¬sht këto janë funksione të kohës).
Termi "funksion” për herë të parë haset në punimet e Leibnicit, në një dorëshkrim (1673) e më pas në një vepër të shtypur (1692). Ajo e ka prejardhjen nga fjala latine "function" që përkthehet me fjalën shqipe kryerje, realizim (në latinisht ekziston edhe fjala "fungor" që përkthehet "shpreh"). Leibnici e futi kuptimin e funksionit për të emërtuar parametra që lidhen me pozicionin e pikës në plan. Nëpërmjet letërkëmbimit të Leibnicit me nxënësin e tij, matematikanin zvicerian J.Bernuli (1667-1748), ata të dy arritën hap pas hapi tek kuptimi i funksionit si një shprehje analitike, duke dhënë në vitin 1718 këtë përcaktim: "Funksion i ndryshores quhet madhësia e shprehur në mënyrë të çfarëdoshme nga kjo ndryshore dhe nga konstantet".
L.Eileri¬ në librin e tij "Hyrje në analizë" (1748) e formuloi kështu përkufizimin e funksionit: "Funksion i një ndryshoreje është shprehja analitike e formuar në ndonjëfarë mënyre nga kjo ndryshore dhe nga numrat apo madhësitë konstante. Ishte Eileri ai që futi në përdorim simbolet që përdoren edhe tani për funksionet.
Një përcaktim më të plotë të funksionit numerik, në të cilin ky koncept çlirohej nga mënyra e dhënies, dhanë matematikani rus N.I.Llobacevskij (1834) dhe matematikani gjerman L.Dirihle (1837). Ideja qëndrore që hodhën ata ishte kjo: “Nuk është esenciale në çfarë mënyre çdo vlere të x i vihet në korrespondencë një vlerë e caktuar e y, rëndësi ka fakti që kjo korrespondencë të jetë e dhënë (plotësisht e përcaktuar).
Kuptimi modern i funksionit, ku bashkësia e përcaktimit dhe bashkësia e vlerave janë të çfarëdoshme (pra, jo detyrimisht numerike) u krijua jo shumë kohë më parë, në gjysmën e parë të shekullit XX, pas punimeve të G.Kantorit (1845-1918¬).
ÇFARË JANË FUNKSIONET?
Dimë që në një relacion, çdo element i bashkësisë së fillimit çiftohet me një, disa ose asnjë element të bashkësisë së mbarimit. Rastet kur çdo element i bashkësisë së fillimit çiftohet vetëm me një element të bashkësisë së mbarimit na çojnë në një koncept shumë të rendësishëm matematik, atë të funksionit.
Le të jetë f një relacion me fillim në X dhe mbarim në Y.
Përkufizim: Relacioni f do të quhet funksion në qoftë se f përmbush dy kushtet në vijim:
1) ∀x ϵ X, gjendet një y ϵ Y e tillë që (x, y) ϵ f
2) ∀x ϵ X dhe y1, y2 ϵ Y, në qoftë se (x, y1) ϵ f dhe (x, y2) ϵ f atëherë y1 = y2.
Sa herë që themi y është funksion i x-it menjëherë duhet të na shkojë mendja tek çifti i radhitur (x, y), pra, kordinata e dytë është funksion i kordinatës së parë.
Bashkësinë e fillimit do ta shënojmë me X, ndërsa bashkësinë e mbarimit me Y.
Tek funksionet bashkësia e fillimit dhe bashkësia e përcaktimit janë të barabarta, në ndryshim nga relacionet ku bashkësia e përcaktimit është nënbashkësi e bashkësisë së fillimit. Kështu X quhet bashkësi përcaktimi për funksionin f.
Ndryshorja x që merr vlerat në X quhet ndryshore e pavarur.
Ndryshorja y që merr vlerat në bashkësinë Y quhet ndryshore e varur.
Numri f(x) quhet vlerë e funksionit në x (lexohet f e x-it).
Bashkësia e të gjitha f(x) formon bashkësinë, F, të vlerave të funksionit f.
Pra, çdo element x nga bashkësia e fillimit çiftohet me elementin f(x) nga bashkësia e mbarimit. Në qoftë se x është një element që nuk i përket bashkësisë së fillimit të funksionit f, atëherë thuhet se f nuk është i përcaktuar në x dhe f(x) nuk ekziston.
Pika 2) e përkufizimit e thënë me fjalë të tjera do të thotë se grafi i një funksioni është bashkësia e çifteve të radhitur në të cilën nuk gjenden dy çifte të radhitur që të kenë, njëherazi, kordinatat e para të njëjta dhe kordinatat e dyta të ndryshme. Bashkësia e fillimit dhe bashkësia e mbarimit, në përgjithësi, kanë në përbërje elementë me natyra çfarëdo. Në këtë libër do të flitet vetëm për funksionin real. Tek funksionet real bashkësia e fillimit dhe ajo e mbarimit janë bashkësi numerike, elementët e të cilave janë numra real. Bashkësitë X dhe Y mund të jenë intervale numerike, segmentë numerikë, gjysmëintervale, gjysmësegmentë, apo dhe bashkësi çfarëdo të përbërë nga numra real.
Funksionet do t’i emërtojmë me shkronjat f, g, h, ϕ, φ, θ etj. Le të jetë f një funksion me fillim në bashkësinë X dhe mbarim në bashkësinë Y. Ky funksion simbolikisht shënohet në mënyrë të ndryshme si: f: X → Y, x → f(x), y = f(x).
Nisur nga përkufizimi i funksionit rrjedhin dy përfundime: 1. Bashkësia e përcaktimit përputhet me bashkësinë e fillimit. 2. Bashkësia e vlerave është nënbashkësi e bashkësisë së mbarimit. Nga figura shihet se bashkësia e vlerave f(x)=F është nënbashkësi e bashkësisë së mbarimit, Y. Nëse ndonjë element i bashkësisë së fillimit nuk rezulton të jetë i çiftuar atëherë cënohet përfundimi i parë i sapocituar e për rrjedhojë f nuk është funksion. Për këtë arsye si dhe për faktin që për funksionet numerike bashkësia e përcaktimit shpesh nuk shkruhet por jepet thjesht me formulë y = f(x) na shtyn të bëjmë këtë marrëveshje:
Marrëveshje: Në rastet kur bashkësia e përcaktimit X nuk është e shkruar si e tillë merret bashkësia e vlerave të ndryshores së pavarur x për të cilat ka kuptim shprehja f(x), ndërsa nëse Y nuk është e shkruar do ta nënkuptojmë të barabartë me R.
PËRDORIMI I FUNKSIONEVE NË FUSHA TË TJERA
Përdorimi i funksioneve në shkencat e tjera natyrore është shumë i gjerë. Funksionet i gjejmë në të gjitha shkencat në të cilat mund të bëjmë lidhje ndërmjet dy ose më shumë madhësive fizike (ku mund të krijojmë raportin ndërmjet dy ose më shumë madhësive të ndryshme)
Mund të përmendim këtu:
Përdorimi në Fizikë i cili është shumë i gjerë:
Lëvizja. Përdorimi i funksioneve në dhënien e raportit të shpejtësisë, rrugës dhe kohës.
Rryma elektrike. Përdorimi i funksioneve në dhënien e raportit të intensitetit, tensionit dhe rezistencës.
Lëkundjet dhe valët. Përdorimi i funksioneve në dhënien e raportit të frekuencës në lidhje me periodën.
Përdorimi në Kimi:
Energjia e aktivizimit të reaksionit. Përdorimi i funksioneve për dhënien e raportit të energjisë së aktivizimit në mungesë të enzimës dhe në prani të enzimës.
Përdorimi në Ekonomi:
Ekuilibri në mes ofertës dhe kërkesës. Përdorimi i funksioneve për dhënien e raportit të çmimit dhe sasisë.
Përdorimi në Demografi.
Rritja e popullsisë. Përdorimi i funksioneve për dhënien e shifrave të rritjes së popullsisë.
KOMENTET