Trigonometria - Projekt Matematikë - Banka e Fundit Facebook Twitter Instagram LinkedIn Youtube

Reklama - Një lojë e krijuar nga maturantët

Trigonometria - Projekt Matematikë

____________
Projektin e plotë mund ta shkarkoni këtu: Word & PDF  

Nëntemat : 


  •  Historia e trigonometrisë.
  •  Funksionet trigonometrike.
  •  Teorema e Sinusit & Cosinusit
  •  Sipërfaqja e trekëndëshit.
  •  Zbatimet e trigonometrisë në jetën e përditshme.

Historia e trigonometrisë
Trekëndëshi është figura më e thjeshtë: ai ka tri brinjë e tri kulme. Matematikanët e quajnë atë simpleks dypërmasor. “Simpleks” latinisht do të thotë më i thjeshti. Simpleks tripërmasor quajnë piramidën trekëndëshe. Pikërisht, për hir të thjeshtësisë së vet, trekëndëshi u bë baza e shumë matjeve. Matësit e tokave, kur llogaritnin syprinat e parcelave të tokës dhe astronomët, kur gjenin largësitë e planeteve dhe yjeve shfrytëzonin vetitë e trekëndëshave. Kështu lindi trigonometria, shkenca e matjes së trekëndëshave, e shprehjes  brinjëve nëpërmjet këndeve të tyre.
Njerëzit në çdo kohë e kanë parë dhe soditur qiellin. Poetët i kanë kënduar bukurisë së natës me yje, astrologët kanë parathënë fatet e botës dhe të njerëzve të veçantë. Por ajo që është kryesore, yjet, Dielli dhe Hëna kanë përcaktuar fillimin e pranverës dhe të verës, kohën e baticave e të zbaticave, të vërshimeve të Nilit... Kur banorët e brigjeve të Mesdheut zunë të lundërojnë larg prej brigjeve, yjet u bënë pika themelore për t’u orientuar. Ylli polar u tregonte veriun. Sipas vendosjes së yjësive mund të llogaritej me saktësi ku ndodhej anija, po të dije të gjeje vendndodhjen tënde sipas yjeve...
Në qoftë se Toka për një kohë të gjatë njerëzve u dukej e sheshtë (më vonë u sajuan balenat, elefantët dhe breshkat, mbi të cilat qëndronte, se fantazinë njeriu gjithmonë e ka pasur me tepricë), atëherë qielli kishte padyshim formën e kupolës. A është i ngurtë a jo, ky problem mbetej për t’u zgjidhur, por që qielli ishte sipërfaqja e një sfere, kjo dukej, si të thuash, edhe me sy të zhveshur. Shumë më vonë kuptuan ç’kishte atje, në lartësitë yjore, por modeli i qiellit si kubè u lejonte ta përdornin tablonë e vendosjes së yjeve për situata të larmishme praktike. Largësia nga vrojtuesi deri tek yjet është shumë e madhe, por, për nevojat e përditshme, kjo nuk ishte më thelbësore. Mjaftonte të sqaroje, në çfarë lartësie mbi horizontin ngjitej ky apo ai yll në një kohë të caktuar në vendin e dhënë.
Por, në qoftë se nuk njihej largësia në bërryle apo milje, si të matej lartësia e yllit mbi horizont? Astronomët e gjetën rrugëdaljen që prej kohësh që s’mbahen mend: ata matnin këndin midis planit të sipërfaqes së dukshme të tokës ( apo të detit ) dhe drejtimit që bashkon syrin e vrojtuesit me yllin. Për lashtësinë e masës këndore flet edhe fakti që këndi ndahej në pjesë gjashtëdhjetore, në minuta dhe sekonda. Kjo është një trashëgimi që na e ka lënë Babilonia.
Kështu pra, qielli matej dhe bëheshin llogaritje duke përdorur këndet. Detarët nuk dilnin në lundrim pa pasur me vete orë të përpikta – kronometra – sekstantin, një aparat për matjen e këndeve.
Domosodoshmëria e llogaritjes së pozicionit të yjeve për gjithëfarë prognozash afatgjata çoi në nevojën për t’u mësuar të silleshin me këndet, po aq lirisht sa dhe me largësitë. Krijimtaria e astrologëve dhe e navigatorëve – gjeometria sferike – çoi në krijimin e trigonometrisë, shkencës për matjen e trekëndëshit. Lidhjen e gjatësive të brinjëve të trekëndëshit me këndet e tij e patën vënë re edhe egjiptianët; ata e dinin si të matnin me saktësi këndin e drejtë. 
Related image
Le të shohim trekëndëshin kënddrejtë. Shihet se sa më e madhe të jetë brinja a aq më i madh është këndi alfa (α), por aq më i vogël është këndi beta (β). Brinja a mund të jetë sa të duam e gjatë, por kurrën e kurrës nuk do të jetë e barabartë me c. Raporti a/c, pra nuk e kalon kurrë njëshin, por nuk është kurrë më i vogël se zeroja, përndryshe, s’kemi trekëndësh. Ky raport, i quajtur sinus i këndit alfa (α), qenkësh i dobishëm. Por, në qoftë se në trekëndëshin kënddrejtë këndi alfa (α) mund të ndryshojë nga 0o deri në 90o , atëherë në një trekëndësh këndgjerë nuk ndodh kështu. Por në çdo trekëndësh këndgjerë mund ta ndajmë në trekëndësha kënddrejtë, pra, të gjejmë edhe sinusin e këndit të gjerë. Hap pas hapi sinusin zunë ta përcaktojnë për për çdo kënd. Vetëm kur doli sistemi i koordinatave u shfaq edhe përkufizimi i tanishëm i sinusit: ai është ordinata e pikës që ndodhet në rrethin njësi.


Zhvillimi i mëtejshëm i trigonometrisë. Studimi i funksioneve trigonometrike.

Bazat e studimit të funksioneve trigonometrike i hodhën matematikanët indianë. Sinusi dhe kosinusi hasen në punimet e tyre që në shekullin IV – V të erës sonë. Duke zëvendësuar kordën me sinusin, indianët e quanin këtë të fundit ardhaxhiva – gjysmëkordë (ndërsa xhiva quanin kordën e harkut). Arabët e shtrembëruan këtë fjalë në xhajb dhe kjo u përkthye në latinisht në shekullin XII me fjalën korresponduese sinus – boshllëk, xhep.
Në shekullin XV Regiomontani përdori për kosinusin shprehjen latine sinus complementi (që do të thotë sinus i plotësuesit), duke pasur parasysh atë që me shënimet e sotme shkruhet cosx = sin(90o - x). Duke ndërruar vendet e dy fjalëve dhe duke shkurtuar njërën prej tyre, lindi fjala cosinus, e cila u përdor për herë të parë në vitin 1620 nga astronomi anglez E. Hunter.
Në shekujt IX – X matematikanët arabë futën kuptime të reja trigonometrike, si: tangent, kotangent, sekant e kosekant. Njëri prejt tyre (Al-Battani) zbuloi që në trekëndëshin kënddrejtë, këndi i ngushtë mund të përcaktohet plotësisht më raportin e katetit përballë me katetin tjetër. Emërtimet e tyre tangent dhe sekant i morën për herë të parë në punimet e matematikanit gjerman T. Fink në vitin 1583, duke u bazuar në paraqitjen gjeometrike që kanë këto funksione në rrethin trigonometrik. Duhet të vëmë në dukje që trigonometria sferike, që përdoret drejtpërdrejtë në astronomi, filloi të zhvillohet më parë se trigonometria plane. Ai që e shkëputi i pari trigonometrinë nga astronomia dhe shtroi rrugën për zhvillimin e saj si shkencë më vete ishte matematikani i shquar Nasir-ad-Din-at-Tusi (1201-1274), me veprën e tij “Traktat mbi figurat e formuara nga prerëset”.
Trajtën moderne trigonometrisë ia dha Leonard Eileri (1707-1783). Ai e përpunoi atë si shkencë mbi funksionet trigonometrike, duke i shqyrtuar ato si raporte segmentesh ndaj rrezes. Kjo bëri të mundur që të kuptohen si argumente funksionesh trigonometrike, si këndet e harqet, ashtu edhe numrat realë. Eileri nxori disa formula që nuk njiheshin para tij dhe futi simbole të qarta. Në veprat e tij hasen për herë të parë shënimet sinx, tgx, etj. Ai perfeksionoi e modernizoi si simbolikën, ashtu edhe përmbajtjen e trigonometrisë.

Funksionet trigonometrike

Sinus i këndit α është raporti i katetit anëshkruar përballë këndit α me hipotenuzën. 
sinα=BC/AB = a/c
Kosinus i këndit α është raporti i katetit anëshkruar këndit α me hipotenuzen.
cosα=AC/AB = b/c
Tangent i këndit α është raporti i katetit përballë këndit α me katetin anëshkruar këndit α.
tgα=BC/AC = a/b
Kotangent i këndit α është raporti i katetit anëshkruar këndit α me katetin përballë këndit α.

Vlera e secilit prej këtyre raporteve nuk varet nga gjatësia e brinjëve të trekëndëshit, por vetëm nga madhësia e këndit α. Është kjo arsyeja që ato emërtohen funksione trigonometrike të këndit të ngushtë α. 

Funksionet trigonometrike të këndit α janë numra abstraktë (pa njësi). Vlerat e disa prej funksioneve trigonometrike, jepen në tabelën e mëposhtme.
Për funksionet trigonometrike të këndit α janë të vërteta formulat e mëposhtme:
sin2α + cos2α = 1
tgα = sinα/cosα
cotgα = cosα/sinα



No comments:

Post a Comment